Старший научный сотрудник НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН Иван Ремизов вывел универсальную формулу для решения дифференциальных уравнений, которые более 190 лет считались нерешаемыми аналитическим путем, сообщили «Жуковский.Life» в пресс-службе НИУ ВШЭ. Результат меняет картину мира в одной из старейших областей математики, важной для физики и экономики.
Речь идёт об уравнениях второго порядка с переменными коэффициентами вида ay»+ by’+cy=g. Они описывают множество сложных процессов — от колебаний маятника до движения планет. С 1834 года, после работы математика Жозефа Лиувилля, считалось, что общую формулу для их решения выразить через стандартные математические действия невозможно.
Иван Ремизов предложил изящный выход, расширив набор инструментов. К стандартным действиям он добавил нахождение предела последовательности. Это позволило записать формулу, в которую можно подставить коэффициенты a, b, c и g и найти решение — функцию y.
«Представьте, что искомое решение уравнения — это большая картина. Рассмотреть её сразу целиком очень трудно. Но математика умеет отлично описывать процессы, развивающиеся во времени. Результатом работы стала теорема, которая позволяет “нарезать” этот процесс на множество маленьких простых кадров, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать из этих кадров единую статичную картину — решение сложного уравнения, то есть резольвенту. Проще говоря, вместо того, чтобы гадать, как выглядит картина, теорема позволяет восстановить облик, быстро прокручивая “киноленту” её создания», — объясняет автор работы, старший научный сотрудник Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде Иван Ремизов.
Метод основан на теории аппроксимаций Чернова и использует преобразование Лапласа. Работа позволяет напрямую задавать так называемые специальные функции (например, функции Матье и Хилла), критически важные для расчёта орбит спутников или движения частиц в коллайдерах, явными формулами. Кроме того, результат перекидывает мостик к современной физике: решение представлено в виде формулы, аналогичной интегралам нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, применяемым в квантовой механике.
Существующие теории о зарождении жизни из неживой материи (абиогенез) столкнулись с вызовом. Математическая модель британского учёного, применившего теорию информации, показала, что вероятность спонтанного возникновения даже простейшей жизни была астрономически мала.